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西方行列式的发展:柯西的研究 (The Developmen

C吃生活 2020-08-03

连结:西方行列式的发展:范德蒙的研究

虽然今日译作「行列式」的词 “determinantem”(即英文的“determinant”)是首次出现在高斯 (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855) 于1801年出版的《算术研究》(Disquisitiones Arithmeticae) 中,但高斯是把它当作是字面意思来使用,即「决定的因素」,用以表示多元高次式的「判别式」,这和今日「行列式」的意义并不相同。

到了1812年,柯西 (Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857) 在提交给法兰西学院 (Institut de France) 的第二篇论文中(1815年出版),使用“déterminan”(即英文的“determinant”)来表示今日所称的「行列式」,换言之,柯西才是使用「行列式」名词的第一人。

在介绍柯西的行列式研究之前,我们必须先说明柯西在1812年之前的数学知识背景。首先,函数在19世纪是数学研究的热门主题,柯西也是热衷于各式函数的研究,他后来还对何谓函数下了定义,该定义已经十分接近今日函数的定义。其次,柯西十分熟悉范德蒙 (Alexandre-Theophile Vandermonde, 1735-1796)在行列式方面的研究(范德蒙并没有使用行列式这名称),在他1812年的论文中,多次提到了范德蒙的研究。然而,范德蒙的论文只是在呈现一种新的符号及其操作(参阅本网站〈西方行列式的发展:范德蒙的研究〉一文),并没有函数的内涵。所以,柯西所做的,就是从函数的观点来定义行列式。

从柯西1812年的论文中可知,他对「交错对称函数」 (alternating symmetric function) 很感兴趣。所谓对称函数 (symmetric function) 就是将不同变数做位置的交换后,其值不变。例如 \(f({a_{1}},{a_{2}},{a_{3}}) = ({a_{2}} + {a_{1}})({a_{3}} + {a_{1}})({a_{3}} + {a_{2}})\) 就是对称函数,无论 \(a_1,a_2,a_3\) 如何置换,函数值不变。柯西所称的「交错对称函数」则是置换变数后,函数值不变或是差个负号,例如 \(f({a_{1}},{a_{2}},{a_{3}}) = ({a_{2}} – {a_{1}})({a_{3}} – {a_{1}})({a_{3}} – {a_{2}})\)、\(f({a_{1}},{a_{2}},{a_{3}}) = {a_{1}}{a_{2}}{a_{3}}({a_{2}} – {a_{1}})({a_{3}} – {a_{1}})({a_{3}} – {a_{2}})\)就是柯西感兴趣的「交错对称函数」。

柯西就是从交错对称函数的观点出发来定义行列式,把行列式视为由一组数对所组成的函数。柯西的做法,在意义上与前人有很大的不同。举范德蒙作对比,虽然范德蒙首先将行列式从方程组的係数中脱离出来,成为单独研究的对象,但范德蒙最终的目的还是在于表示方程组的解(参阅本网站〈西方行列式的发展:范德蒙的研究〉一文)。

至于柯西,则是将行列式又往前推了一大步,把它独立置于函数的领域之中,彻底切断它和方程组相连的脐带,奠定了行列式理论研究的基础。虽然柯西定义的行列式本质上和今日的行列式相同,但他定义的方式颇为複杂,而且,老实说,还挺奇妙的!笔者在此仅以三阶为例,说明柯西的定义方式。

首先,\(a_1,a_2,a_3\) 代表三个不同的数,定义函数 \(S( \pm {a_{1}}^1{a_{2}}^2{a_{3}}^3)\):

\(S( \pm {a_{1}}^1{a_{2}}^2{a_{3}}^3) = {a_{1}}{a_{2}}{a_{3}}({a_{2}} – {a_{1}})({a_{3}} – {a_{1}})({a_{3}} – {a_{2}})\)

若我们将等号的右边乘开,整理可得:

\(\begin{array}{ll}S( \pm {a_{1}}^1{a_{2}}^2{a_{3}}^3) &= {a_{1}}{a_{2}}^2{a_{3}}^3 + {a_{2}}{a_{3}}^2{a_{1}}^3 + {a_{3}}{a_{1}}^2{a_{2}}^3 \\&- {a_{1}}{a_{3}}^2{a_{2}}^3 – {a_{3}}{a_{2}}^2{a_{1}}^3 – {a_{2}}{a_{1}}^2{a_{3}}^3\end{array}\)

接下来则是最神奇的一步了:

把每一个指数都改写成第二个下标,即 \(a_i^j\) 改写成 \(a_{i,j}\),就会得到新函数

\(\begin{array}{ll}S( \pm {a_{1,1}}\,{a_{2,2}}\,{a_{3,3}}) &= {a_{1,1}}{a_{2,2}}{a_{3,3}} + {a_{2,1}}{a_{3,2}}{a_{1,3}} + {a_{3,1}}{a_{1,2}}{a_{2,3}}\\&-{a_{1,1}}{a_{3,2}}{a_{2,3}} – {a_{3,1}}{a_{2,2}}{a_{1,3}} – {a_{2,1}}{a_{1,2}}{a_{3,3}}\end{array}\)

柯西就将新函数 \(S( \pm {a_{1,1}}{a_{2,2}}{a_{3,3}})\) 称做「行列式」(déterminan),

并补充说明 \(a_{1,1},a_{1,2},\cdots,a_{3,3}\) 这 \(9\) 项可排列成 \(\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{\,1,1}}}&{{a_{\,1,2}}}&{{a_{\,1,3}}}\\ {{a_{\,2,1}}}&{{a_{\,2,2}}}&{{a_{\,2,3}}}\\ {{a_{\,3,1}}}&{{a_{\,3,2}}}&{{a_{\,3,3}}} \end{array}\)。

至此,读者心中一定有一个大大的疑问:「这是在干嘛?」

请暂时搁下心中的疑惑,让我们将 \(\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{\,1,1}}}&{{a_{\,1,2}}}&{{a_{\,1,3}}}\\ {{a_{\,2,1}}}&{{a_{\,2,2}}}&{{a_{\,2,3}}}\\ {{a_{\,3,1}}}&{{a_{\,3,2}}}&{{a_{\,3,3}}} \end{array}\) 的两侧都加上一直线段,

然后取代函数符号 \(S( \pm {a_{1,1}}{a_{2,2}}{a_{3,3}})\),就会得到:

\(\begin{array}{ll}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1,1}}}&{{a_{1,2}}}&{{a_{1,3}}}\\ {{a_{2,1}}}&{{a_{2,2}}}&{{a_{2,3}}}\\ {{a_{3,1}}}&{{a_{3,2}}}&{{a_{3,3}}} \end{array}} \right| &= {a_{1,1}}{a_{2,2}}{a_{3,3}} + {a_{2,1}}{a_{3,2}}{a_{1,3}} + {a_{3,1}}{a_{1,2}}{a_{2,3}} \\&- {a_{1,1}}{a_{3,2}}{a_{2,3}} – {a_{3,1}}{a_{2,2}}{a_{1,3}} – {a_{2,1}}{a_{1,2}}{a_{2,3}}\end{array}\)

这不就是今日的行列式吗?为了证明笔者没有在「唬弄」大家,图一就是柯西论文的原貌,请各位看倌自行瞧瞧。

西方行列式的发展:柯西的研究 (The Developmen

图一

看完上图后,读者一定会好奇那 \(a_{1,1}\)、\(a_{1,2}\)、\(\cdots\)、\(a_{3,3}\) 与原来的 \(a_1\)、\(a_2\)、\(a_3\) 有何关係?答案是:没有关係!\(a_{1,1}\)、\(a_{1,2}\)、\(\cdots\)、\(a_{3,3}\) 就是 \(9\) 个数,用今日的术语来说,柯西定义了一个 \(\underbrace {\Re\times\Re\times\cdots\times\Re}_{9\Re}\to \Re\) 的新函数。

笔者一开始很难接受柯西这样子的定义方式,但后来想想,当我们在教室黑板上写出行列式的定义时,学生应该就是「这是在干嘛?」这种感觉吧!

最后,关于柯西的定义,笔者再补充说明几点。其一是当行列式被看成函数时,接下来就可以考虑函数的运算性质,所以,柯西继续在其论文中探讨这新函数的运算性质,得到了今日所称的「乘法定理」与「展开定理」,这两者与今日高中数学并没有直接关连,在此就不多作说明。其二,虽然柯西在定义行列式时并没有考虑方程组的係数,但他仍不忘用他的新函数来呈现克拉玛公式。其三,柯西创新之处在于将双足码并列写在右下方,并将行列式排列成 \(n\times n\) 的方形,这两者都被后人所继承,直至今日。1841年凯莱 (Arthur Cayley, 1821-1895) 在 \(n\times n\) 的方形两侧加上直线段后,就成为今日行列式的符号了。

连结:西方行列式的发展:结语

参考文献:

Cauchy, Augustin-Louis (1815). “Mémoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et de signes contraires par suite des transpositions opérées entre les variables qu’elles renferment”, http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oetoc?id=OE_CAUCHY_2_1O’Connor, John and Robertson, Edmund (1996). “Matrices and determinants”, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Matrices_and_determinants.htmlYcart, Bernard and Kuntzmann, Laboratoire Jean (2013). “A case of mathematical eponymy: the Vandermonde determinant”, Revue d’Histoire des Mathématiques, 9(1), pp.43-77.( http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/68/99/43/PDF/VD_BY.pdf)杨浩菊 (2004). 《行列式理论历史研究》,西北大学博士论文。

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